Distribuições Discretas de Probabilidade
Introdução
As distribuições discretas de probabilidade recebem esse nome por serem características das variáveis aleatórias discretas, vimos anteriormente, que uma variável aleatórias é considerada discreta se puder assumir valores finitos ou infinitos enumeráveis, assumindo somente pontos particulares.
Ou seja, sendo uma variável aleatória X os possíveis valores de X podem ser uma sequência de valores como x1, x2, … No caso finito, a sequência possui um valor final xn, e no caso infinito a sequência continua indefinidamente.
Exemplos de variáveis aleatórias discreta: número de animais, número de pessoas, número de objetos e etc.
Dentre as principais distribuições discretas destacam-se a distribuição de Bernoulli, a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson. A seguir, veremos as propriedades de cada uma delas.
Distribuição de Bernoulli
Nos experimentos com a distribuição de Bernoulli o espaço amostral é composto por apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (resultado de interesse) ou “fracasso” (resultado diferente do de interesse).
Exemplos:
- Lançar uma moeda: pode sair cara ou coroa;
- Um objeto é escolhido ao acaso: o resultado é defeituoso ou não;
- Plantar uma semente: ela pode germinar ou não.
Deve ficar claro que nem sempre o que é “bom” é o sucesso, mas sim o que se está estudando. Por exemplo, o fato de um objeto ser defeituoso seria o sucesso, se “ser defeituoso” é o que se está estudando.
No caso da distribuição de Bernoulli definimos que uma variável aleatória X só assume dois possíveis valores:
- 1 em caso de sucesso;
- 0 em caso de fracasso.
Denominamos a probabilidade de sucesso de “p” e a probabilidade de fracasso de ”q”, com “p + q = 1,0”.
Definindo a variável aleatória discreta X igual ao número de sucessos em uma única tentativa do experimento, dessa forma a função de probabilidade é dada por:
A distribuição da variável aleatória X e Bernoulli é:
Valor Médio ou Esperança de X
Dada a variável aleatória X, assumindo valores x1, x2, … , xn com as respectivas probabilidades P(x1), P(x2), …, P(xn), chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valor:
Variância de X
Dada a variável aleatória X, chamamos a variância de X ao valor:
A notação da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X com distribuição de Bernoulli é igual a
Exemplo
Suponha que a probabilidade de escolher um elemento defeituoso seja 0,95. A variável aleatória é o elemento “ser defeituoso”, Determine:
- A probabilidade de sucesso (p);
- A probabilidade de fracasso (q);
- A esperança da variável aleatória;
- A variância da variável aleatória;
- O desvio-padrão da variável aleatória.
Distribuição Binomial
É a mais importante das distribuições de probabilidade discreta.
Os experimentos com a distribuição binomial são aqueles que consistem em uma sequência de n ensaios idênticos e independentes, cada tentativa pode resultar em apenas dois resultados possíveis: sucesso e fracasso, a probabilidade de sucesso é constante de uma tentativa para outra e o número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n.
Exemplos:
- Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de caras;
- 10 objetos são escolhidos ao acaso e observamos se é defeituoso;
- 5 sementes são plantadas e observa-se a germinação.
A função de probabilidades de uma variável X com distribuição binomial é dada por:
em que,
p = probabilidade de sucesso;
1-p = probabilidade de fracasso.
Valor Médio ou Esperança de X
A esperança de uma variável aleatória X com distribuição binomial é dada por:
Variância de X
A variância de uma variável aleatória x com distribuição binomial é dada por:
A notação da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X com distribuição binomial é igual a
Exemplo
Foram avaliados oito objetos de uma produção com o objetivo de verificar se estavam defeituosos. Sabendo que a probabilidade do objeto ser defeituoso é de 0,5, determine:
- A esperança da variável aleatória;
- A variância da variável aleatória;
- O desvio-padrão da variável aleatória;
- A probabilidade de nenhum objeto estar defeituoso;
- A probabilidade de pelo menos sete objetos estarem defeituosos;
- A probabilidade de no máximo dois objetos estarem defeituosos.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é muito utilizada quando se deseja estimar o número de ocorrências (sucessos) de um evento de interesse sobre um espaço de tempo, comprimento, área ou volume. É também chamada de distribuição dos eventos raros.
Exemplos:
- Número de defeitos de um objeto durante um dia de produção;
- Número de acidentes ocorridos em uma semana;
- Número de furos em pneus por km rodado;
- Número de bactérias por ml de urina.
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para qualquer dois intervalos de igual comprimento e a ocorrência ou não de um intervalo é independente da ocorrência ou não em qualquer outro intervalo.
Dizemos que a variável aleatória tem distribuição de Poisson com parâmetro Lambda (λ), em que λ é igual ao número médio de ocorrências do evento de interesse por unidade de tempo, distância ou área.
A função de probabilidades de uma variável X com distribuição de Poisson é dada por:
em que,
λ = número médio de ocorrências do evento de interesse em um intervalo;
e = constante matemática (~2,71828).
Valor Médio ou Esperança de X
A esperança de uma variável aleatória X com distribuição de Poisson é dada por:
Variância de X
A variância de uma variável aleatória x com distribuição de Poisson é dada por:
A notação da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X com distribuição de Poisson é igual a
Exemplo
Sabendo que uma máquina produz em média cinco objetos defeituosos por hora. Determine:
- A esperança da variável aleatória;
- A variância da variável aleatória;
- O desvio-padrão da variável aleatória;
- A probabilidade de encontrar dois objetos defeituosos em uma hora selecionada aleatoriamente;
- A probabilidade de encontrar no mínimo dois objetos defeituosos em uma hora selecionada aleatoriamente.
Conclusão
Resumo das propriedades das distribuições discretas de probabilidade:
